为什么数在计算机内存中用补码表示？

负数在计算机中如何表示？

我们知道计算机是用二进制来存储数据的，举例来说，+8在计算机中表示为二进制的1000，那么-8怎么表示呢？

很容易想到，可以将一个二进制位(bit)专门规定为符号位，它等于0时就表示正数，等于1时就表示负数。比如在8位机中(用8位机做示例是为了数据短点，16/32/64位都同理)，规定每个字节的最高位(最左侧那一位)为符号位。那么，+8就是00001000，而-8则是10001000。

但是，随便找一本《计算机原理》，都会告诉你，实际上，计算机内部采用2的补码(Two’s Complement)表示负数。

什么是2的补码？

先来说一下原码、反码、补码的概念：

• 原码：就是十进制数直接转成二进制数的那个码(当然如果是有符号数，则正数的最高位为0，负数的最高位为1)；
• 反码：正数的反码等于原码，负数的反码就是把所有位取反(0变1，1变0)，比如-8(10001000)的反码就是11110111(除最左侧符号位，其它全部取反)；
• 补码：正数的补码等于原码，负数的补码=反码+1，我们把前面得到的-8的反码11110111+1(1的8位二进制为00000001)，计算过程如下

11110111
00000001 +
-----------
11111000

很明显，结果就是11111000，所以，-8(10001000)的补码就是11111000。也就是说，-8在计算机(8位机)内存中就是用11111000表示的。

为什么要用2的补码？

直接用原码不是更直观吗？为什么要用2的补码呢？我们研究的时候还得转换，不麻烦吗？对于人工手算什么的来说确实麻烦，但对电路来说，不仅不麻烦，还简化了电路！因为只有这样，才能用加法电路完成减法运算，即把16-8当成16+(-8)来算。

还是以-8作为例子，假定有两种表示方法，一种是直接表示法，即10001000；另一种是2的补码表示法，即11111000，请问哪一种表示法在加法运算中更方便？

还是用前面举过例的计算式：16+(-8)=?，16的二进制表示是00010000，所以用直接表示法，加法就要写成：

00010000
10001000 +
-----------
10011000

可以看到，如果按照正常的加法规则，就会得到10011000的结果，转成十进制就是-24，显然，这是错误的答案。也就是说，正常的加法规则不适用于正数与负数的加法，因此必须制定两套运算规则，一套用于正数加正数，还有一套用于正数加负数，从电路上说，就是必须为加法运算做两种电路，或者也可以认为一套加法电路，一套减法电路。

现在，再来看2的补码表示法

 00010000
 11111000 +
-----------
100001000

可以看到，按照正常的加法规则，得到的结果是100001000。注意，这是一个9位的二进制数。我们已经假定这是一台8位机，因此最高的第9位是一个溢出位，电脑根本就存不下，所以那个位就相当于被“丢掉了”。所以，结果就变成了00001000，转成十进制正好是8，也就是16 + (-8)的正确答案。这说明了，2的补码表示法可以将加法运算规则，扩展到整个整数集(即适用于正整数和负整数)，从而用一套电路就可以实现全部整数的加法。

2的补码的本质及正确性

“模”的概念

“模”是指一个计量系统的计数范围，如时钟等。计算机也可以看成一个计量机器，它也有一个计量范围，即都存在一个“模”。例如：时钟的计量范围是0～11，模=12，n位计算机计量范围是0～2ⁿ-1，模=2ⁿ(比如8位计算机，2⁸=256，所以它的模就是256，它能表示的数值范围是0～2⁸-1=0～255)。

“模”实质上是计量器产生“溢出”的量，它的值在计量器上表示不出来，计量器上只能表示出模的余数。任何有模的计量器，均可化减法为加法运算。

例如：假设当前时针指向10点，而准确时间是6点，调整时间可有以下两种拨法：你可以往回拨4个小时，也可以向前拨8个小时（10+8-12=6，在钟表系统里模是12），在以12模的系统中，加8和减4效果是一样的，因此凡是减4运算，都可以用加8来代替。

对12这个“模”而言，8和4互为补数。实际上以12模的系统中，11和1，10和2，9和3，7和5，6和6都有这个特性，共同的特点是两者相加等于模。

对于计算机，其概念和方法完全一样。对于n位计算机，设n=8，所能表示的最大数是11111111(8个1)，若再加1则变为100000000(9位)，但因只有8位，最高位1自然丢失。又回了00000000(8个0)，所以8位二进制系统的模为2⁸（即256，相当于一个时钟有256个刻度，当走到255的时候，再加1就又变成0(256)了），我们把时钟的12、256也说成0，是因为它是原点，在数学上原点一般用0表示。在这样的系统中减法问题也可以化成加法问题，只需把减数用相应的补数表示就可以了。

2的补码等于反码+1的原因

再次重申一下这句话：在以12为模的系统中，加8和减4效果是一样的，因此凡是减4运算，都可以用加8来代替。

所以对于模为100000000(256)的8位系统来说，减去b和加上100000000(8个0)再减b是一个道理，而(100000000-b)是什么？恰好就是b的补码(因为模减去一个数得到的数就是它的补码，就和12-4=8，8就是4的补码一样)，而100000000(8个0)是什么？其实它就是11111111+1，即100000000-b=11111111+1-b=(11111111-b)+1，好了，为什么我要把(11111111-b)括起来呢？因为(11111111-b)就是b的反码。

我们来验证一下反码的求法，我们就假设b=4，4的8位二进制码为00000100

11111111
00000100 -
-----------
11111011

可以看一下，负数的反码就是把1变0，0变1，而11111111因为全是1，所以被减的数为1的位就被减掉了就会变成0(即1变0)，而为0的位就相当于没减，相当于0变1，所以11111111减去某个数，就相当于对这个数取反，这就是2进制数的补码=反码+1的原因。

为什么int范围是-2147483648～2147483647

一般对于x86架构的电脑/服务器来说，int型是32位(虽然现在都是64位机，但int还是32位，long int才是64位)，当然其它架构中(比如单片机)，可能是16位。

32位二进制数总共可以表示多少个数？

32位二进制数可以表示几个数，意思就是32个位置，每个位置有0和1两种可能，一共有几种组合方式？答案是2³²=4294967296个，这是个数学问题。我们先拿两位来说，第1位有0和1两种值，第二位也是有0和1两种值，那两位加起来一共能有几种组合？可不就是2×2=2²=4种组合嘛，同理，如果有3位，那就是2×2×2=2³=8，……，如果有32，那就是2×2×2×……×2(32个2)=2³²=4294967296种组合。

每一种组合表示一个数，比如0……00(32个0)表示0，0……01(31个0)表示1，……，1……11(32个1)表示4294967295，32个1已经是它能表示的最大数了，即32位二进制数能表示0～表示4294967295共4294967296个数。

有人可能会有疑问，2³²表示的最大数明明是4294967295，为什么我却说它能表示4294967296个数？因为是0开头呀，算上0就是4294967296个了。比如0～10，虽然最大数是10，但它有11个数，因为它是0开头，如果1开头才是10个数。

32位有符号二进制数

对于一个有符号整型来说，它的最高位(最左边那一位用来表示正负，0表示正，1表示负)，所以32位二进制能表示的最大的有符号整型数是111……1(31个1)，但是31个1不好换算为十进制，我们一般把它加1，这样它就变成了1000……0(31个0)，这个数的大小是2³¹=也就是2147483648，因为加了1，我们要减去1，也就是2147483648-1=2147483647。

当符号位为0时，这个数自然就是+2147483647，当符号位为1时，这个数就是-2147483647，所以正数的范围是+1～+2147483647(共2147483647个正数)，负数的范围是-1～-2147483647(共2147483647个负数)，除此之外还有0没算进去，这样加起来，32位二进制表示的数一共有2147483647×2+1=4294967295个数。

有没有发现，正数的数量(2147483647个)加上负数的数量(2147483647个)再加上0(1个)，总共才4294967295个数，可是前面明明算出来，32位进制数是可以表示4294967296个数的，现在我们算出来的却是4294967295个，为什么会少了一个数？少的那个数是几？它藏哪儿去了？

这个问题，看下图就明白了，这个图是按16位二进制数画的，因为32位的数太长了，不好写，但原理是一样的

想像这个圆是一个巨大的时钟，我在它上面均匀的刻了2¹⁶=65536个刻度，左半边有-1～-32767共32767个数，右边有1～32767共32767个数，左右两边加起来共32767×2=65534个数，很明显，除了左半边和右半边，我们还少算了中间两个数，一个+0，一个-0，加上这两个数就刚好是65536个(2¹⁶)，可是0其实并没有正负的，0就是0，不管+0还是-0都是0，这怎么处理？

计算机中每一个数字都是一个不同的0和1的组合，我们已经知道，16位二进制数，每一位有0和1两种值，这16位的0和1，一共可以组合出2¹⁶=65536种组合，每一种组合都表示一个数字，当我们把最高位作为符号位时，则只有15位参与组合，15位一共可以组合出2¹⁵=32768种组合(0~32767)，再加上符号位有0和1两种情况，所以总共有两个32768种组合，也就是32768×2=65536种组合。

然而，这65536种组合里，有两个组合分别是这样的：

0000000000000000 (16个0)
1000000000000000 (15个0)

经过前面的知识，我们很清楚，第一个就是我们前面所说的+0，第二个就是我们所说的-0，然而内存中存的是补码，也就是我们看到的这两个数，其实是补码来的，而要算出它的原码，正数就不用说了，原码与补码相同，而负数的补码=反码+1，则反码=补码-1，算出了反码再按位取反就能得到原码。

下面我们来算一下1000000000000000(15个0)的反码是多少，其实很简单，不用算，减1就是一直向高位借位，直到符号位才能借到(注意符号位是参与运算的，这就是为什么可以向符号位借位的原因)，结果就是0111111111111111(15个1)。

反码求出来了，除了最高位(最左侧)的符号位0外，其它全部按位取反，就变成了0000000000000000(16个0)。你发现没？1000000000000000(15个0)这个补码，对应的原码是0000000000000000，而0000000000000000(+0)这个补码对应的原码也是0000000000000000，也就是说，现在出现了一个“bug”，有两个补码，它的原码竟然都是0000000000000000。对于0000000000000000这个补码，我们已经用它表示0了，但1000000000000000这个补码呢？它实际上表示的也是0，但是0只有一个，我们不能重复表示呀，怎么办？

我们试试直接把1000000000000000(15个0)这个数转换为十进制，结果是2¹⁵=32768(此时已经不把最高位当符号了，因为你把它当符号位的话，根本就不用算，因为它直接就是0了，跟正0重复了)，但是这个数理论上确实是负数，因为它的符号位是1，于是就人为规定，它是-32768(即1000000000000000这个补码对应的十进制数为-32768)。

为什么不把它规定为+32768呢？很简单，首先它本身就应该是负数(因为它符号位是1)。其次，一般我们把0归到正数，即正数是0-32767(共32768个数)，这时负数就是-1～-32768(刚好也是32768个数)，这样正数负数刚好对半分，而如果归到+32768，则必须把0给负数那边，这样才能刚好正负数各一半，这样有点不太符合人们的习惯。

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前面说的都是16位的，同理，如果换成32位二进制，那么它的左半边肯定是-1～-2147483647(共2147483647个数)，右边是+1～+2147483647(共2147483647个数)，两边加起来共2147483647×2=4294967294，很明显我们少算了+0和-0，加上这两个数，刚好是4294967296个数，刚好就是32位二进制数能表示的数的个数，这里也是一样，+0和-0的补码都对应整数0，所以我们就让+0为0，并人为规定-0是-2147483648。